Биноминальная модель определения цены опциона

Доклад. Биноминальная модель определения цены опциона

Основой биноминальной модели является разбиение временного промежутка - от начала до даты истечения - на дискретные интервалы (или шаги). Например, для одномесячного опциона на шаги длительностью в день. При этом предполагается, что ключевые параметры (обычно цена (или доход), лежащих в основе опциона ценных бумаг) развиваются во времени шаг за шагом, изменяясь на каждом интервале вверх или вниз на фиксированное или пропорциональное значение. Возможны модели с двумя разветвлениями (вверх, вниз) - биноминальная модель или с тремя разветвлениями (вверх, равно, вниз) - более сложная модель. Поскольку цена (или доход) после последовательных изменений в разные стороны может оказаться прежней, это приводит к появлению решетчатых схем.

Определение цены опциона (при известной цене исполнения) производят при "движении" по решетке с конца (даты истечения) к начальному узлу (дате составления контракта). В модели предполагается, что значения параметров в узлах решетки исключают возможность арбитража.

В качестве примера предположим, что цена актива S, лежащего в основе опциона, в любом узле решетки может измениться вверх с коэффициентом u и с вероятностью q и вниз - с коэффициентом d, и вероятностью (1-q):

Аналогично предположим, что стоимость опциона в верхнем и нижнем узлах будет равна соответственно С_u и С_d, т.е.

Создадим портфель, состоящий из некоторого количества единиц  актива (например, купонная облигация), лежащего в основе опциона, и наличности (или безрисковых облигаций): S*+H. Заметим, что H может быть отрицательным, что будет означать заимствование. Цена такого портфеля в конце шага будет:

где г=1+r_бр/100; r_бр - безрисковая краткосрочная ставка процента (при u>r>d возможность безрискового арбитража исключена); с - индекс купонного дохода (для бескупонных облигаций и акций, по которым не выплачиваются дивиденды, с=0).

Значения  и H определим, исходя из выполнения условий:

отсюда

(1)

(2)

Таким образом, для того чтобы в течение рассматриваемого периода отсутствовала возможность безрискового арбитража, стоимость опциона С должна быть равна S*+H.,

(3)

В противном случае будет возможен безрисковый арбитраж путем покупки (продажи) опциона и продажи (покупки) комбинации ценных бумаг, лежащих в основе опциона, и безрисковых облигаций.

Стоимость сформированного портфеля S*+H. изменяется (вверх и вниз) точно так же, как и стоимость опционного контракта. (Таким образом,  - ценовая чувствительность или коэффициент хеджирования опциона.)

Формула биноминальной модели определения цены опциона может быть записана в виде:

или

(4)

где p=(r-d)/(u-d)

Заметим, что выражение (4) не содержит значение вероятности q: цена опциона не зависит от ожиданий инвестора относительно рыночных тенденций.

Распространяя уравнение (2) на последующие шаги в будущем, получим выражение стоимости опциона в начальном узле через стоимость в конечном узле.

Формула для определения цены опциона по биноминальной модели (без учета купонных начислений) имеет вид:

где

(5)

p’=(u/r)p; a - наименьшее неотрицательное целое число, большее, чем log(X/Sdⁿ)/log(u/d).

Биноминальную модель обычно применяют к опционам американского типа.

Пример. Составим дерево цен 6-месячного опциона "колл" с ценой исполнения, равной номиналу облигации с купоном 15% и коэффициентами повышения и понижения цены за этот срок соответственно 1,2 и 1/1,2. Безрисковая ставка процента на период действия опциона 6%. Дерево цен составим для трех временных отрезков длительностью по 2 месяца каждый (на практике с целью увеличения точности расчета увеличивают количество периодов, сокращают их длительность, например, до одного дня).

Купонные начисления за период: 15%/6 = 2,5%. Коэффициенты повышения и понижения цены облигации за период:

u = (1,2)^1/3 = 1,0627 и d = (1/1,2)^1/3 = 0,9410; безрисковая ставка за период: r = (1,06) ^1/3 = 1,0195.

Дерево цен облигации представлено на рис. 1.

Цена опциона "колл" и значение коэффициента хеджирования могут быть определены с использованием уравнений (1 - 3).

Например, для цены опциона "колл" 2,71 и соответствующего ей коэффициента хеджирования 0,5152 расчеты будут иметь вид:

Другие похожие работы

1. Временная структура коэффициента бета (сравнение результатов при подсчете по разным временным интервалам; на данных по акциям РАО ЕЭС)
2. Семейное право, вариант 4 (Г.И. Королева при регистрации брака с Белоусовым заявила, что желает носить его фамилию)
3. Семейное право, вариант 5
4. Сущность понятий семьи и брака
5. Алиментные обязательства членов семьи